Eugeniusz Baziak urodził się 8 marca 1890 r. w Tarnopolu. W 1908 r. wstąpił do Wyższego Seminarium Duchownego we Lwowie. W 1912 r. przyjął święcenia kapłańskie. Był katechetą w Żółkwi, kapelanem wojskowym, wikarym i katechetą w Tarnopolu. W 1919 r. został prefektem w lwowskim WSD, a w 1924 r. – wicerektorem WSD we Lwowie. Po napaści sowieckiej na Polskę w 1939 r. zaangażował się w działalność dobroczynną, a po śmierci arcybiskupa Twardowskiego w 1944 r., objął rządy jako metropolita lwowski. Czterokrotnie był przesłuchiwany przez władze sowieckie. Opuścił Lwów 27 kwietnia 1946 r., eskortowany przez NKWD.
W 1951 r. przybył do Krakowa, jako koadiutor kardynała Sapiehy. Po śmierci krakowskiego metropolity przejął kierowanie diecezją. Gdy odmówił potępienia księży aresztowanych pod zarzutem szpiegostwa, znalazł się w areszcie domowym. 16 grudnia 1952 r. sam został aresztowany pod zarzutem szpiegostwa. Po 8 dniach przesłuchań został wypuszczony z nakazem opuszczenia Krakowa. Zatrzymał się w Tarnowie, w domu matki i siostry. W 1956 r. powrócił do Krakowa; dwa lata później konsekrował 38-letniego ks. Karola Wojtyłę, którego uczynił sufraganem.
Zmarł 15 czerwca 1962 r. po obradach Konferencji Episkopatu Polski w Warszawie. Został pochowany w wawelskiej katedrze, w krypcie pod Kaplicą Zebrzydowskich.